Question

【题目】已知：如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，点D是AB的中点，点E是CD的中点，过点C作CF∥AB叫AE的延长线于点F．
（1）求证：△ADE≌△FCE；
（2）若∠DCF=120°，DE=2，求BC的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵点E是CD的中点，

∴DE=CE．

∵AB∥CF，

∴∠BAF=∠AFC．

在△ADE与△FCE中，

∵ ，

∴△ADE≌△FCE（AAS）

（2）解：由（1）得，CD=2DE，

∵DE=2，

∴CD=4．

∵点D为AB的中点，∠ACB=90°，

∴AB=2CD=8，AD=CD= AB．

∵AB∥CF，

∴∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，

∴∠DAC=∠ACD= ∠BDC= ×60°=30°，

∴BC= AB= ×8=4

【解析】（1）先根据点E是CD的中点得出DE=CE，再由AB∥CF可知∠BAF=∠AFC，根据AAS定理可得出△ADE≌△FCE；（2）根据直角三角形的性质可得出AD=CD= AB，再由AB∥CF可知∠BDC=180°﹣∠DCF=180°﹣120°=60°，由三角形外角的性质可得出∠DAC=∠ACD= ∠BDC=30°，进而可得出结论．
【考点精析】本题主要考查了直角三角形斜边上的中线的相关知识点，需要掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半才能正确解答此题．