Question

【题目】如图所示，已知AB是的直径，直线L与相切于点C，，CD交AB于E，直线L，垂足为F，BF交于C．

图中哪条线段与AE相等？试证明你的结论；

若，，求AB的值．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2)20.

【解析】

（1）观察图象知：只有FG的长度与AE相当，可猜想AE=FG，然后着手证明它们相等；求简单的线段相等，通常是证线段所在的三角形全等，那么本题需要构造全等三角形，连接AC、CG，然后证△AEC≌△GCF；连接BD，由于弧AC=弧AD，那么BA⊥CD，根据垂径定理知∠D=∠BCE；由弦切角定理知∠FCB=∠D=∠DCB，那么它们的余角也相等，即∠FBC=∠EBC，那么弧CG=弧AC，即AC=CG，再由角平分线的性质得CF=CE，根据HL即可判定所求的两个三角形全等，由此得证．

（2）由弦切角定理知∠FCG=∠FBC，它们的正弦值也相等，即可在Rt△FCG中，求得CG的长，也就得到了AC的长，在Rt△ACB中，CE⊥AB，由射影定理即可得到AB的长．

解：（1）FG=AE，理由如下：

连接CG、AC、BD；

∵，

∴BA⊥CD，

∴ ，即∠D=∠BCD；

∵直线L切⊙O于C，

∴∠BCF=∠D=∠BCD，

∴∠FBC=∠ABC，

∴，CE=CF；

∴AC=CG；

△ACE和△GCF中，AC=CG、CE=CF，∠AEC=∠CFG=90°，

∴Rt△AEC≌Rt△GCF，则AE=FG．

（2）∵FC切⊙O于C，

∴∠FCG=∠FBC，即sin∠FCG=sin∠CBF=；

在Rt△FCG中，FG=AE=4，CG=FG÷sin∠FCG=4；

∴AC=CG=4；

在Rt△ABC中，CE⊥AB，由射影定理得：

AC2=AEAB，即AB=AC2÷AE=20．