Question

【题目】如图，矩形ABCD中，AB=nAD，点E，F分别在边AB，AD上且不与顶点A，B，D重合，∠AEF=∠BCE，圈O过A，E，F三点．
（1）求证：圈O与CE相切与点E；
（2）如图1，若AF=2FD且∠AEF=30°，求n的值；
（3）如图2．若EF=EC且圈O与边CD相切，求n的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：在矩形ABCD中，∠A=∠B=90°，

∴圆心O是EF的中点；

∵∠AEF=∠BCE，∠BEC+∠BCE=90°，

∴∠BEC+∠AEF=90°，

即∠FEC=90°，

∴圆O与CE相切与点E

（2）解：如图1，设FD=x，AF=2x；

则BC=3x；

∵∠AEF=30°，

∴AE=AFtan 30°=2 x，

∵∠BCE=30°，

∴BE=BCtan30°= x，

∴AB=3 x，

∴n= =

（3）解：设切点为G，连OG并延长交AE于点H；

在△AEF与△BCE中，

∴△AEF≌△BCE（AAS）

设BC=AE=y，

则BE=AF=（n﹣1）y，

HE= AE= y

∴由切线的性质可知：OG=OE=OF，

∴由中位线的性质可知：OH= AF=

∴OE=OG=y﹣ y= y，

∴Rt△OHE中，由勾股定理可知：

（ ）2=（ ）2+（ ）2，

解得：n=

【解析】（1）只需要证明∠FEC=90°即可，由于∠AEF=∠BCE，∠BEC+∠BCE=90°，所以∠BEC+∠AEF=90°，（2）设FD=x，AF=2x，所以BC=3x，根据特殊角的锐角三角函数值即可求出BE、AB的长度，从而可求出n的值．（3）设切点为G，连OG并延长交AE于点H；，先证明△AEF≌△BCE，然后根据AB=nAD，可设BC=y，然后用y表示OH、OE，HE的长度，根据勾股定理即可求出n的值．