Question

【题目】如图，⊙O的直径AB的长为10，弦AC的长为5，∠ACB的平分线交⊙O于点D．

（1）求 的长．
（2）求弦BD的长．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图，连接OC，OD，

，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=∠ADB=90°，

在Rt△ABC中，

∵ ，

∴∠BAC=60°，

∴∠BOC=2∠BAC=2×60°=120°，

∴ 的长=

（2）解：∵CD平分∠ACB，

∴∠ACD=∠BCD，

∴∠AOD=∠BOD，

∴AD=BD，

∴∠ABD=∠BAD=45°，

在Rt△ABD中，

BD=AB×sin45°=10×

【解析】（1）首先根据AB是⊙O的直径，可得∠ACB=∠ADB=90°，然后在Rt△ABC中，求出∠BAC的度数，即可求出∠BOC的度数；最后根据弧长公式，求出 的长即可．（2）首先根据CD平分∠ACB，可得∠ACD=∠BCD；然后根据圆周角定理，可得∠AOD=∠BOD，所以AD=BD，∠ABD=∠BAD=45°；最后在Rt△ABD中，求出弦BD的长是多少即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用等腰直角三角形和含30度角的直角三角形的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．