Question

【题目】在平面直角坐标系中，点Q为坐标系上任意一点，某图形上的所有点在∠Q的内部（含角的边），这时我们把∠Q的最小角叫做该图形的视角．如图1，矩形ABCD，作射线OA，OB，则称∠AOB为矩形ABCD的视角．
（1）如图1，矩形ABCD，A（﹣ ，1），B（ ，1），C（ ，3），D（﹣ ，3），直接写出视角∠AOB的度数；
（2）在（1）的条件下，在射线CB上有一点Q，使得矩形ABCD的视角∠AQB=60°，求点Q的坐标；
（3）如图2，⊙P的半径为1，点P（1， ），点Q在x轴上，且⊙P的视角∠EQF的度数大于60°，若Q（a，0），求a的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：如图1中，设AB交y轴于E．

∵A（﹣ ，1），B（ ，1），

∴OE⊥AB，EA=EB，

∴OA=OB，

在Rt△OAE中，tan∠OAE= ，

∴∠OAB=∠OBA=30°，

∴∠AOB=120°

（2）解：如图2中，连结AC，在射线CB上截取CQ=CA，连结AQ．

∵AB=2 ，BC=2，

∴AC=4，

∴∠ACQ=60°．

∴△ACQ为等边三角形，

即∠AQC=60°，

∵CQ=AC=4，

∴Q（ ，﹣1）

（3）解：如图3中，当点Q与点O重合时，设⊙P与y轴相切于点E，OF是⊙P的切线，

∵P（1， ），

∴PE=1，OE= ，

∴tan∠POE= ，

∴∠POE=∠POF=30°

∴∠EQF=60°，此时Q（0，0），

如图4，根据对称性可知，当FQ⊥x轴时，∠EQF=60°，

∴Q（2，0），

∴a的取值范围是0＜a＜2．

【解析】（1）如图1中，设AB交y轴于E．首先证明OA=OB，在Rt△AEO中，求出∠OAE的度数即可．（2）如图2中，连结AC，在射线CB上截取CQ=CA，连结AQ．只要证明△ACQ是等边三角形即可解决问题．（3）如图3中，当点Q与点O重合时，设⊙P与y轴相切于点E，OF是⊙P的切线，可以证明∠EQF=60°，此时Q（0，0），如图4，根据对称性可知，当FQ⊥x轴时，∠EQF=60°，此时Q（2，0），由此即可解决问题．