Question

【题目】在△ABC中，AB=AC，∠A=60°，点D是BC边的中点，作射线DE，与边AB交于点E，射线DE绕点D顺时针旋转120°，与直线AC交于点F．

（1）依题意将图1补全；
（2）小华通过观察、实验提出猜想：在点E运动的过程中，始终有DE=DF．小华把这个猜想与同学们进行交流，通过讨论，形成了证明该猜想的几种想法：
想法1：由点D是BC边的中点，通过构造一边的平行线，利用全等三角形，可证DE=DF；
想法2：利用等边三角形的对称性，作点E关于线段AD的对称点P，由∠BAC与∠EDF互补，可得∠AED与∠AFD互补，由等角对等边，可证DE=DF；
想法3：由等腰三角形三线合一，可得AD是∠BAC的角平分线，由角平分线定理，构造点D到AB，AC的高，利用全等三角形，可证DE=DF…．
请你参考上面的想法，帮助小华证明DE=DF（选一种方法即可）；
（3）在点E运动的过程中，直接写出BE，CF，AB之间的数量关系．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如图1所示：

（2）

解：想法1证明：如图2，过D作DG∥AB，交AC于G，

∵点D是BC边的中点，

∴DG= AB，

∴△CDG是等边三角形，

∴∠EDB+∠EDG=120°，

∵∠FDG+∠EDG=120°，

∴∠EDB=∠FDG，

∵BD=DG，∠B=∠FGD=60°，

∴△BDE≌△GDF，

∴DE=DF；

想法2证明：如图3，连接AD，

∵点D是BC边的中点，

∴AD是△ABC的对称轴，

作点E关于线段AD的对称点P，点P在边AC上，

∴△ADE≌△ADP，

∴DE=DP，∠AED=∠APD，

∵∠BAC+∠EDF=180°，

∴∠AED+∠AFD=180°，

∵∠APD+∠DPF=180°，

∴∠AFD=∠DPF，

∴DP=DF，

∴DE=DF；

想法3证明：如图4，连接AD，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，

∵点D是BC边的中点，

∴AD平分∠BAC，

∵DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，

∴DM=DN，

∵∠A=60°，

∴∠MDE+∠EDN=120°，

∵∠FDN+∠EDN=120°，

∴∠MDE=∠FDN，

∴Rt△MDE≌Rt△NDF，

∴DE=DF

（3）

解：当点F在AC边上时，BE+CF= AB，

当点F在AC延长线上时，BE﹣CF= AB，

证明：①当点F在AC边上时，如图5中，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．

∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，

在△BDM与△CDN中， ，

∴△BDM≌△CDN，

∴BM=CN，DM=DN，

又∵∠EDF=120°=∠MDN，

∴∠EDM=∠NDF，

又∵∠EMD=∠FND=90°，

∴△EDM≌△FDN，

∴ME=NF，

∴BE+CF=BM+EM+NC﹣FN=2BM=BD= AB；

②当点F在AC延长线上时，如图6，

∵∠B=∠C=60°，BD=DC，∠BDM=∠CDN=30°，

∴△BDM≌△CDN，

∴BM=CN，DM=DN，

又∵∠EDF=120°=∠MDN，

∴∠EDM=∠NDF，

又∵∠EMD=∠FND=90°，

∴△EDM≌△FDN，

∴ME=NF，

∴BE﹣CF=BM+EM﹣（FN﹣CN）=2BM=BD= AB，

综上所述：当点F在AC边上时，BE+CF= AB；

当点F在AC延长线上时，BE﹣CF= AB．

【解析】（1）根据题目中的要求作图即可；（2）想法1，由已知得到△CDG是等边三角形，证得∠EDB=∠FDG，根据全等三角形的性质即可得到结论；想法2，如图3，连接AD，作点E关于线段AD的对称点P，点P在边AC上，根据全等三角形的性质得到DE=DP，∠AED=∠APD，等量代换得到∠AFD=∠DPF，于是得到结论；想法3，如图4，连接AD，过D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，根据角平分线的性质得到DM=DN，根据全等三角形的性质即可得到结论；（3）当点F在AC边上时，过点D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N．只要证明△BDM≌△CDN，△EDM≌△FDN即可解决问题，当点F在AC延长线上时，证明方法类似．