【题目】（7分）（2015黄石）如图，⊙O的直径AB=4，∠ABC=30°，BC交⊙O于D，D是BC的中点．

（1）求BC的长；

（2）过点D作DE⊥AC，垂足为E，求证：直线DE是⊙O的切线．

参考答案：

【答案】（1）；（2）证明见试题解析．

【解析】试题分析：（1）根据圆周角定理求得∠ADB的度数，然后解直角三角形即可求得BD，BC；

（2）要证明直线DE是⊙O的切线只要证明∠EDO=90°即可．

试题解析：（1）连接AD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，又∵∠ABC=30°，AB=4，∴BD=，∵D是BC的中点，∴BC=2BD=；

（2）连接OD．∵D是BC的中点，O是AB的中点，∴DO是△ABC的中位线，∴OD∥AC，则∠EDO=∠CED，又∵DE⊥AC，∴∠CED=90°，∠EDO=∠CED=90°，∴DE是⊙O的切线．

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