Question

【题目】阅读下列一段文字，然后回答下列问题．
已知在平面内两点P1（x1 ， y1）、P2（x2 ， y2），其两点间的距离 ，
同时，当两点所在的直线在坐标轴或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，两点间距离公式可简化为|x2﹣x1|或|y2﹣y1|．
（1）已知A（2，4）、B（﹣3，﹣8），试求A、B两点间的距离；
（2）已知A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，试求A、B两点间的距离；
（3）已知一个三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），你能判定此三角形的形状吗？说明理由；
（4）平面直角坐标中，在x轴上找一点P，使PD+PF的长度最短，求出点P的坐标以及PD+PF的最短长度．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵A（2，4）、B（﹣3，﹣8），

∴AB= =13

（2）解：∵A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，

∴AB=|4﹣（﹣1）|=5

（3）解：△DEF为等腰三角形，理由为：

∵D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2），

∴DE= =5，DF= =5，EF= =6，即DE=DF，

则△DEF为等腰三角形

（4）解：做出F关于x轴的对称点F′，连接DF′，与x轴交于点P，此时DP+PF最短，

设直线DF′解析式为y=kx+b，

将D（1，6），F′（4，﹣2）代入得： ，

解得： ，

∴直线DF′解析式为y=﹣ x+ ，

令y=0，得：x= ，即P（ ，0），

∵PF=PF′，

∴PD+PF=DP+PF′=DF′= = ，

则PD+PF的长度最短时点P的坐标为（ ，0），此时PD+PF的最短长度为 ．

【解析】（1）代入公式易得AB= =13。
（2）由于A、B在平行于y轴的直线上，点A的纵坐标为4，点B的纵坐标为﹣1，有公式易得AB=|4﹣（﹣1）|=5；
（3）由三角形各顶点坐标为D（1，6）、E（﹣2，2）、F（4，2）代入公式可得各点之间的距离，再利用勾股定理的逆定理可得三角形为直角三角形；
（4）做出F关于x轴的对称点F′，连接DF′，与x轴交于点P，此时DP+PF最短，求得直线DF′解析式可得P点坐标，再利用公式可得PD+PF的最短长度为
【考点精析】利用轴对称-最短路线问题对题目进行判断即可得到答案，需要熟知已知起点结点，求最短路径；与确定起点相反，已知终点结点，求最短路径；已知起点和终点，求两结点之间的最短路径；求图中所有最短路径．