Question

【题目】如图，在△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线分别交AB、AC于点D、E．

（1）若∠A=40°，求∠DCB的度数．
（2）若AE=4，△DCB的周长为13，求△ABC的周长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，

∴∠ABC=∠ACB= =70°，

∵DE垂直平分AC，

∴DA=DC，

∴在△DAC中，∠DCA=∠A=40°，

∴∠DCB=∠ACB﹣∠ACD=30°

（2）解：∵DE垂直平分AC，

∴DA=DC，EC=EA=4，

∴AC=2AE=8，

∴△ABC的周长为：AC+BC+BD+DA=8+BC+BD+DC=8+13=21

【解析】（1）由在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，根据等腰三角形的性质，可求得∠ACB的度数，又由线段垂直平分线的性质，可得AD=CD，即可求得∠ACD的度数，继而求得答案；（2）由AE=4，△DCB的周长为13，即可求得△ABC的周长．
【考点精析】解答此题的关键在于理解线段垂直平分线的性质的相关知识，掌握垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等，以及对等腰三角形的性质的理解，了解等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）．