Question

【题目】在△ABC中，点D，E，F分别在AB，BC，AC上，且∠ADF+∠DEC=180°，∠AFE=∠BDE．

（1）如图1，当DE=DF时，图1中是否存在与AB相等的线段？若存在，请找出，并加以证明；若不存在，说明理由；

（2）如图2，当DE=kDF（其中0＜k＜1）时，若∠A=90°，AF=m，求BD的长（用含k，m的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）AB=BE；（2）BD=．

【解析】

试题分析：（1）如图1，连结AE．由DE=DF，得到∠DEF=∠DFE，由∠ADF+∠DEC=180°，得到∠ADF=∠DEB．由∠AFE=∠BDE，得到∠AFE+∠ADE=180°，得到A、D、E、F四点共圆，由圆周角定理得出∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF．再由∠ADF=∠DEB=∠AEF，得出∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，则∠AEB=∠DEF=∠BAE，由等角对等边得出AB=BE；

（2）如图2，连结AE．由A、D、E、F四点共圆，得到∠ADF=∠AEF，由∠DAF=90°，得到∠DEF=90°，再证明∠DEB=∠AEF．又∠AFE=∠BDE，得到△BDE∽△AFE，利用相似三角形对应边成比例得到．在Rt△DEF中，利用勾股定理求出EF=DF，然后将AF=m，DE=kDF代入，计算即可求解．

试题解析：（1）如图1，连结AE．∵DE=DF，∴∠DEF=∠DFE，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB，∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠DAE=∠DFE=∠DEF，∠ADF=∠AEF，∵∠ADF=∠DEB=∠AEF，∴∠AEF+∠AED=∠DEB+∠AED，∴∠AEB=∠DEF=∠BAE，∴AB=BE；

（2）如图2，连结AE．∵∠AFE=∠BDE，∴∠AFE+∠ADE=180°，∴A、D、E、F四点共圆，∴∠ADF=∠AEF，∵∠DAF=90°，∴∠DEF=90°，∵∠ADF+∠DEC=180°，∴∠ADF=∠DEB，∵∠ADF=∠AEF，∴∠DEB=∠AEF，在△BDE与△AFE中，∵∠DEB=∠AEF，∠BDE=∠AFE，∴△BDE∽△AFE，∴，在直角△DEF中，∵∠DEF=90°，DE=kDF，∴EF==DF，∴=，∴BD=．