Question

【题目】如图，过正方形ABCD顶点B，C的⊙O与AD相切于点P，与AB，CD分别相交于点E、F，连接EF．

（1）求证：PF平分∠BFD．
（2）若tan∠FBC= ，DF= ，求EF的长．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：连接OP，BF，PF，

∵⊙O与AD相切于点P，

∴OP⊥AD，

∵四边形ABCD的正方形，

∴CD⊥AD，

∴OP∥CD，

∴∠PFD=∠OPF，

∵OP=OF，

∴∠OPF=∠OFP，

∴∠OFP=∠PFD，

∴PF平分∠BFD；

（2）

解：连接EF，

∵∠C=90°，

∴BF是⊙O的直径，

∴∠BEF=90°，

∴四边形BCFE是矩形，

∴EF=BC，

∵AB∥OP∥CD，BO=FO，

∴OP= AD= CD，

∵PD2=DFCD，即（ ）2= CD，

∴CD=4 ，

∴EF=BC=4

【解析】（1）根据切线的性质得到OP⊥AD，由四边形ABCD的正方形，得到CD⊥AD，推出OP∥CD，根据平行线的性质得到∠PFD=∠OPF，由等腰三角形的性质得到∠OPF=∠OFP，根据角平分线的定义即可得到结论；（2）由∠C=90°，得到BF是⊙O的直径，根据圆周角定理得到∠BEF=90°，推出四边形BCFE是矩形，根据矩形的性质得到EF=BC，根据切割线定理得到PD2=DFCD，于是得到结论．本题考查了切线的性质，正方形的性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，切割线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．