Question

【题目】如图，在直角坐标系中，矩形的边在轴上，点坐标为边、的长分别为3、8，是的中点，反比例函数的图象经过点，与边交于点．

（1）求的值及经过、两点的一次函数的表达式；

（2）若轴上有一点，使的值最小，试求出点的坐标；

（3）在（2）的条件下，连接、、，在直线上找一点，使得直接写出符合条件的点坐标．

Answer 1

【答案】（1）k=12，一次函数的表达式为：y=x；（2）P(5，0)；（3）(，)或(，)．

【解析】

（1）先确定出点B，C坐标，进而得出点E坐标，最后用待定系数法，即可求出直线AE解析式；
（2）先找出点F关于x轴的对称点F'的坐标，进而求出直线EF'的解析式，即可得出结论；
（3）先利用面积和差求出三角形PEF的面积，再求出直线EF的解析式，设出点Q的坐标，过点Q作y轴的平行线交直线EF于G，表示出点G的坐标，利用坐标系中求三角形面积的方法建立方程求解，即可得出结论．

（1）在矩形ABCD中，AB=3，AD=8，

∴CD=AB=3，BC=AD=8，

∵D(6，0)，

∴A(6，8)，C(3，0)，B(3，8)，

∵E是BC的中点，

∴E(3，4)，

∵点E在反比例函数的图象上，

∴k=3×4=12，

设经过A、E两点的一次函数的表达式为：y=ax+b，

∴，解得：，

∴经过A.、E两点的一次函数的表达式为：y=x；

（2）如图1，由（1）可知，k=12，

∴反比例函数的解析式为：，

∵点F的横坐标为6，

∴点F的纵坐标为2，

∴F(6，2)，

作点F关于x轴的对称点F′，则F′(6，2)，

连接EF′交x轴于P，此时，PE+PF的值最小，

∵E(3，4)，

∴由待定系数法可得：直线EF′的解析式为：y=2x+10，

令y=0，则2x+10=0，

∴x=5，

∴P(5，0)；

（3）如图2，由（2）知，F′(6，2)，

∵E(3，4)，F(6，2)，

∴S△PEF=S△EFF′S△PFF′=×(2+2)×(3+6) ×(2+2)×(5+6)=4，

∵E(3，4)，F(6，2)，

∴由待定系数法得：直线EF的解析式为：y=x+6，

由（1）知，经过A.、E两点的一次函数的表达式为：y=x，

设点Q(m，m)，

过点Q作y轴的平行线交直线EF于G，

∴G(m，m+6)，

∴QG=|mm6|=|2m+6|，

∵S△QEF=S△PEF，

∴S△QEF=|2m+6|×(3+6)=4，

∴m=或m=，

∴Q(，)或(，)．