Question

【题目】如图，在⊙O中，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点P，连接BC．
（1）求证：∠PCA=∠B；
（2）填空：已知∠P=40°，AB=12cm，点Q在 上，从点A开始以πcm/s的速度逆时针运动到点C停止，设运动时间为ts． ①当t=时，以点A、Q、B、C为顶点的四边形面积最大；
②当t=时，四边形AQBC是矩形．

Answer 1

【答案】
（1）证明：如图1中，连接OC．

∵PC是切线，OC是半径，

∴OC⊥PC，

∴∠PCO=90°

∴∠PCA+∠ACO=90°，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠B+∠CAB=90°，

∵OC=OA，

∴∠OAC=∠OCA，

∴∠B+∠OCA=90°，

∴∠PCA=∠B．

（2）3s；
【解析】解：（2）①如图2中，当点Q在AB下方， = 时，四边形AQBC的面积最大，此时t= =3s．
所以答案是3s．
②如图3中，当 = 时，四边形AQBC是矩形，连接CQ与AB交于点O．

∵∠P=40°，∠PCO=90°，
∴∠POC=50°，
∴∠AOQ=130°，
∴弧AQ的长= = ，
∴t= = s．
所以答案是 s．