Question

【题目】如图①，矩形ABCD中，AB=2，BC=5，BP=1，∠MPN=90°，将∠MPN绕点P从PB处开始按顺时针方向旋转，PM交边AB（或AD）于点E，PN交边AD（或CD）于点F，当PN旋转至PC处时，∠MPN的旋转随即停止．
（1）特殊情形：如图②，发现当PM过点A时，PN也恰巧过点D，此时，△ABP△PCD（填“≌”或“～”）；
（2）类比探究：如图③，在旋转过程中， 的值是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）～
（2）解：在旋转过程中， 的值为定值．

证明：如图③所示，过点F作FG⊥BC于G，则∠B=∠FGP，

∵∠MPN=90°，∠B=90°，

∴∠BEP+∠EPB=90°=∠CPF+∠EPB，

∴∠BEP=∠CPF，

∴△EBP∽△GPF，

∴ = ，

∵矩形ABGF中，FG=AB=2，而PB=1，

∴ = ，

∴ = ，

即 的值为定值 ．

【解析】解：（1）如图②所示，
∵∠MPN=90°，∠B=90°，
∴∠BAP+∠APB=90°=∠CPD+∠APB，
∴∠BAP=∠CPD，
又∵∠B=∠C，
∴△ABP∽△PCD；
所以答案是：∽；
【考点精析】认真审题，首先需要了解矩形的性质(矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等)，还要掌握相似三角形的判定(相似三角形的判定方法:两角对应相等，两三角形相似（ASA）；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似； 两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似（SAS）；三边对应成比例，两三角形相似（SSS）)的相关知识才是答题的关键．