Question

【题目】（提出问题）（1）如图1，已知AB∥CD，证明：∠1+∠EPF+∠2＝360°；

（类比探究）（2）如图2，已知AB∥CD，设从E点出发的（n﹣1）条折线形成的n个角分别为∠1，∠2……∠n，探索∠1+∠2+∠3+……+∠n的度数可能在1700°至2000°之间吗？若有可能请求出n的值，若不可能请说明理由．

（拓展延伸）（3）如图3，已知AB∥CD，∠AE1E2的角平分线E1O与∠CEnEn﹣1的角平分线EnO交于点O，若∠E1OEn＝m°．求∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣1）的度数．（用含m、n的代数式表示）

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）可能在1700°至2000°之间，n的值为11或12；（3）∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣1）＝180°（n﹣1）﹣2m°．

【解析】

(1)过点P做PG∥AB，根据平行线的判定得出PG∥CD,根据平行线的性质得出结论即可；（2）过折点作AB的平行线，根据平行线的判定得出AB∥GH∥…∥PQ∥CD，根据平行线的性质得出即可；（3）过点O作OP∥AB，根据平行线的性质以及（2）中的结论，即可得出∠2+∠3+∠4+…∠（n-1）的度数.

（1）如图所示，过P作PG∥AB，则∠1+∠GPE＝180°，

∵AB∥CD，

∴PG∥CD，

∴∠2+∠FPG＝180°，

∴∠1+∠GPE+∠GPF+∠2＝360°，

即∠1+∠EPF+∠2＝360°；

（2）可能在1700°至2000°之间．

如图过G作GH∥AB，…，过P作PQ∥AB，

∵AB∥CD，

∴AB∥GH∥…∥PQ∥CD，

∴∠1+∠EGH＝180°，…，∠QPF+∠n＝180°，（有（n﹣1）对同旁内角）

∴∠1+∠2+…∠n﹣1+∠n＝180°（n﹣1），

当1700°＜180°（n﹣1）＜2000°时，n＝11，12，

∴n的值为11或12；

（3）如图所示，过O作OP∥AB，

∵AB∥CD，

∴OP∥CD，

∴∠AE1O＝∠POE1，∠CEnO＝∠POEn，

∴∠AE1O+∠CEnO＝∠POE1+∠POEn＝∠E1OEn＝m°，

又∵∠AE1E2的角平分线E1O与∠CEnEn﹣1的角平分线EnO交于点O，

∴∠AE1E2+∠CEnEn﹣1＝2（∠AE1O+∠CEnO）＝2m°，

由（2）可得，∠AE1E2+∠2+…+∠（n﹣1）+∠CEnEn﹣1＝180°（n﹣1），

∴∠2+∠3+∠4+…+∠（n﹣1）＝180°（n﹣1）﹣2m°．