Question

【题目】阅读下面材料：

小明遇到这样一个问题：如图1，在△ABC中，DE∥BC分别交AB于D，交AC于E．已知CD⊥BE，CD=3，BE=4，求BC+DE的值．

小明发现，过点E作EF∥DC，交BC延长线于点F，构造△BEF，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．

（1）请按照上述思路完成小明遇到的这个问题

（2）参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，已知ABCD和矩形ABEF，AC与DF交于点G，AC=BF=DF，求∠DGC的度数．

Answer 1

【答案】（1）BC+DE=5；（2）∠DGC=60°．

【解析】分析：（1）由DE∥BC，EF∥DC，可证得四边形DCFE是平行四边形，即可得EF=CD=3，CF=DE，即可得BC+DE=BF，然后利用勾股定理，求得BC+DE的值；

（2）首先连接AE，CE，由四边形ABCD是平行四边形，四边形ABEF是矩形，易证得四边形DCEF是平行四边形，继而证得△ACE是等边三角形，则可求得答案．

详解：（1）∵DE∥BC，EF∥DC，

∴四边形DCFE是平行四边形，

∴EF=CD=3，CF=DE．

∵CD⊥BE，∴EF⊥BE，

∴BC+DE=BC+CF=BF==5．

（2）解决问题：

连接AE，CE，如图3．

∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC．

∵四边形ABEF是矩形，∴AB∥FE，BF=AE，∴DC∥FE，∴四边形DCEF是平行四边形，∴CE∥DF．

∵AC=BF=DF，∴AC=AE=CE，∴△ACE是等边三角形，∴∠ACE=60°．

∵CE∥DF，∴∠DGC=∠ACE=60°．