Question

【题目】如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，交AC于点E，过点D作FG⊥AC于点F，交AB的延长线于点G．

（1）求证：FG是⊙O的切线；

（2）若tanC=2，求的值．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）BG：GA=1：4．

【解析】（1）欲证明FG是⊙O的切线，只要证明OD⊥FG即可；

（2）由△GDB∽△GAD，设BG=a．可得，推出DG=2a，AG=4a，由此即可解决问题.

（1）如图，连接AD、OD，

∵AB是直径，

∴∠ADB=90°，即AD⊥BC，

∵AC=AB，

∴CD=BD，

∵OA=OB，

∴OD∥AC，

∵DF⊥AC，

∴OD⊥DF，

∴FG是⊙O的切线；

（2）∵tanC==2，BD=CD，

∴BD：AD=1：2，

∵∠GDB+∠ODB=90°，∠ADO+∠ODB=90°，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠GDB=∠GAD，

∵∠G=∠G，

∴△GDB∽△GAD，设BG=a．

∴，

∴DG=2a，AG=4a，

∴BG：GA=1：4．