Question

【题目】已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（﹣2，0），B（0、﹣4）与x轴交于另一点C，连接BC．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图，P是第一象限内抛物线上一点，且S△PBO=S△PBC，求证：AP∥BC；

（3）在抛物线上是否存在点D，直线BD交x轴于点E，使△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似（不重合）？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；（2）证明见解析；（3）点D的坐标为（，）或（，﹣）．

【解析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式即可

（2）令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标，作△POB和△PBC的高线，根据面积相等可得OE=CF，证明△OEG≌△CFG，则OG=CG=2，根据三角函数列式可得P的坐标，利用待定系数法求一次函数AP和BC的解析式，k相等则两直线平行；

（3）先利用概率的知识分析A，B，C，E中的三点为顶点的三角形，有两个三角形与△ABE有可能相似，即△ABC和△BCE，

①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，根据存在公共角∠BAE=∠BAC，可得△ABE∽△ACB，列比例式可得E的坐标，利用待定系数法求直线BE的解析式，与抛物线列方程组可得交点D的坐标；

②当△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，同理可得结论．

（1）把点A（﹣2，0），B（0、﹣4）代入抛物线y=x2+bx+c中得：

，解得：，

∴抛物线的解析式为：y=x2﹣x﹣4；

（2）当y=0时，x2﹣x﹣4=0，

解得：x=﹣2或4，

∴C（4，0），

如图1，过O作OE⊥BP于E，过C作CF⊥BP于F，设PB交x轴于G，

∵S△PBO=S△PBC，

∴PBOE=PBCF，

∴OE=CF，

易得△OEG≌△CFG，

∴OG=CG=2，

设P（x，x2﹣x﹣4），过P作PM⊥y轴于M，

tan∠PBM=，

∴BM=2PM，

∴4+x2﹣x﹣4=2x，

x2﹣6x=0，

x1=0（舍），x2=6，

∴P（6，8），

易得AP的解析式为：y=x+2，

BC的解析式为：y=x﹣4，

∴AP∥BC；

（3）以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE，四种，其中△ABE重合，不符合条件，△ACE不能构成三角形，

∴当△ABE与以A，B，C，E中的三点为顶点的三角形相似，存在两个三角形：△ABC和△BC，

①当△ABE与以A，B，C中的三点为顶点的三角形相似，如图2，

∵∠BAE=∠BAC，∠ABE≠∠ABC，

∴∠ABE=∠ACB=45°，

∴△ABE∽△ACB，

∴，

∴，

∴AE=，

∴E（，0），

∵B（0，﹣4），

易得BE：y=，

则x2﹣x﹣4=x﹣4，

x1=0（舍），x2=，

∴D（，）；

②当△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形相似，如图3，

∵∠BEA=∠BEC，

∴当∠ABE=∠BCE时，△ABE∽△BCE，

∴，

设BE=2m，CE=4m，

Rt△BOE中，由勾股定理得：BE2=OE2+OB2，

∴，

3m2﹣8m+8=0，

（m﹣2）（3m﹣2）=0，

m1=2，m2=，

∴OE=4m﹣4=12或，

∵OE=＜2，∠AEB是钝角，此时△ABE与以B，C、E中的三点为顶点的三角形不相似，如图4，

∴E（﹣12，0）；

同理得BE的解析式为：y=﹣x﹣4，

﹣x﹣4=x2﹣x﹣4，

x=或0（舍）

∴D（，﹣）；

综上，点D的坐标为（，）或（，﹣）．