Question

【题目】我们知道“对称补缺”的思想是解决与轴对称图形有关的问题的一种重要的添加辅助线的策略，参考这种思想解决下列问题.

在△ABC中，D为△ABC外一点.

(1)如图1，若AC平分∠BAD,CE⊥AB于点E，∠ B+∠ADC=180,求证：BC=CD;

(2)如图2，若∠ACB=90°, AC=BC，F是AC上一点，AD⊥BF交BF延长线于点D，且BF是∠CBA的角平分线.求证：2AD=BF.

Answer 1

【答案】(1)见解析；(2)见解析.

【解析】

（1）在AB上取点G，使AG=AD，证明△ADC≌△AGC得DC=GC ，∠CDA=∠CGA, 可证∠B=∠CGE得到CB = CG，从而得到结论；

（2）分别延长AD、BC交于点H，证明△ADB≌△BDH，得∠DAB=∠DHB,AB=BH ，所以△ABH为等腰三角形，证得2AD=AH，再证明BF= AH即可得证.

(1) 证明：在AB上取点G，使AG=AD

∵AC平分∠BAD

∠DAC=∠GAC,

在△ADC与△AGC中

AD＝BD，

∠DAC=∠GAC,

AC=AC(公共边)

△ADC≌△AGC (SAS)

DC=GC

∠CDA=∠CGA,

又∵∠ B+∠ADC=180,∠ CGE+∠AGC=180,

∠ B =∠ CGE

CB = CG

又∵DC=GC

CB=DC

(2) 证明：分别延长AD、BC交于点H，

∵BD平分∠CBA

∠DBC=∠ABD,

∵AD⊥BF交BF延长线于点D

∠ADB=∠HDB=90°,

在△ADB与△BDH 中

∠ADB=∠HDB

BD=BD

∠DBC=∠ABD,

△ADB≌△BDH

∠DAB=∠DHB,AB=BH

△ABH为等腰三角形

又∵BD平分∠CBA

AD=DH，即2AD=AH

∵∠ACB=90°, AC=BC，

∠B=∠CAB=45°,

∠DAB=(180° - ∠B )=90°-22.5°=67.5,

∠HAC=22.5°=∠CBD

在△ACH与△BCF 中

∠HAC=∠DBC

AC=CB

∠ACH=∠BDA

△ACH≌△BCF

BF= AH

又∵2AD=AH，

2AD=BF