Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中有菱形OABC，点A的坐标为（5，0），对角线OB、AC相交于点D，双曲线y=（x＞0）经过AB的中点F，交BC于点E，且OBAC=40，有下列四个结论：

①双曲线的解析式为y=（x＞0）；②直线OE的解析式为y=x；③tan∠CAO=；④AC+OB=6；其中正确的结论有（　　）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

Answer 1

【答案】D

【解析】

如图，过F作FG⊥x轴于点G，过B作BM⊥x轴于点M，由菱形的面积可求得BM长，由此可求得AM长，再根据F为AB中点即可求得F点坐标，根据F点在双曲线上利用待定系数法可求得函数解析式；根据点E在双曲线上可求得点E坐标，继而可求得直线OE的解析式；过C作CH⊥x轴于点H，则可得HM=BC，可求得AH，CH长，由此即可求得tan∠CAO的值；在直角△OBM中，由勾股定理可求得OB的长，结合已知条件求得AC长，则可求得AC+OB，可得出答案．

如图，过F作FG⊥x轴于点G，过B作BM⊥x轴于点M，

∵A（5，0），

∴OA=5，

∴S菱形OABC=OABM=ACOB=×40=20，即5BM=20，

∴BM=4，

在Rt△ABM中，AB=5，BM=4，由勾股定理可得AM=3，

∵F为AB中点，

∴FG是△ABM的中位线，

∴FG=BM=2，MG=AM=，

∴F（，2）

∵双曲线过点F，

∴k=xy=×2=7，

∴双曲线解析式为y=（x＞0），故①正确；

②由①知，BM=4，故设E（x，4）．

将其代入双曲线y=（x＞0），得4=，

∴x=，

∴E（，4），

易得直线OE解析式为：y=x，故②正确；

③过C作CH⊥x轴于点H，

可知四边形CHMB为矩形，

∴HM=BC=5，

∵AM=3，

∴OM=5﹣3=2，

∴OH=5﹣OM=3，

∴AH=5+3=8

且CH=BM=4，

∴tan∠CAO=，故③正确；

④在直角△OBM中，OM=2，BM=4，

由勾股定理得到：OB==，

∵OBAC=40，

∴AC=，

∴AC+OB=6，故④正确，

综上所述，正确的结论由4个，

故选D．