Question

【题目】如图，在平行四边形ABCD中，过对角线BD中点的直线交AD、BC边于F、E．
（1）求证：四边形BEDF是平行四边形；
（2）当四边形BEDF是菱形时，写出EF与BD的关系．
（3）若∠A=60°，AB=4，BC=6，四边形BEDF是矩形，求该矩形的面积．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵四边形ABCD是平行四边形，O是BD中点，

∴BC∥AD，OB=OD，

∴∠OBE=∠ODF，

又∵∠BOE=∠DOF，

∴△BOE≌△DOF（ASA），

∴EO=FO，

∴四边形BEDF是平行四边形

（2）解：当四边形BEDF是菱形时，根据菱形的性质可得：EF与BD互相垂直平分
（3）解：∵四边形BEDF是矩形

∴∠AFB=90°

又∵∠A=60°，

∴∠ABF=30°，

∴AF= AB= ×4=2，

∴Rt△ABF中，BF=2 ，

又∵AD=BC=6，

∴DF=6﹣2=4，

∴矩形BEDF的面积=BF×DF=2 ×4=8 ．

【解析】（1）根据平行四边形ABCD的性质，判定△BOE≌△DOF（ASA），得出四边形BEDF的对角线互相平分，进而得出结论；（2）根据根据菱形的性质作出判断：EF与BD互相垂直平分；（3）根据Rt△ABF的边角关系，求得BF和AF，再根据矩形的性质，求得DF的长，最后计算矩形的面积．
【考点精析】掌握平行四边形的判定与性质和矩形的性质是解答本题的根本，需要知道若一直线过平行四边形两对角线的交点，则这条直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，并且这两条直线二等分此平行四边形的面积；矩形的四个角都是直角，矩形的对角线相等．