Question

【题目】已知是等边三角形，D是BC边上的一个动点点D不与B，C重合是以AD为边的等边三角形，过点F作BC的平行线交射线AC于点E，连接BF．

如图1，求证：≌；

请判断图1中四边形BCEF的形状，并说明理由；

若D点在BC边的延长线上，如图2，其它条件不变，请问中结论还成立吗？如果成立，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) 四边形BCEF是平行四边形,理由见解析;(3) 成立，理由见解析.

【解析】

（1）利用有两条边对应相等并且夹角相等的两个三角形全等即可证明△AFB≌△ADC；

（2）四边形BCEF是平行四边形，因为△AFB≌△ADC，所以可得∠ABF=∠C=60°，进而证明∠ABF=∠BAC，则可得到FB∥AC，又BC∥EF，所以四边形BCEF是平行四边形；

（3）易证AF=AD，AB=AC，∠FAD=∠BAC=60°，可得∠FAB=∠DAC，即可证明△AFB≌△ADC；根据△AFB≌△ADC可得∠ABF=∠ADC，进而求得∠AFB=∠EAF，求得BF∥AE，又BC∥EF，从而证得四边形BCEF是平行四边形．

和都是等边三角形，

，，，

又，，

，

在和中，

，

≌；

由得≌，

，

又，

，

，

又，

四边形BCEF是平行四边形；

成立，理由如下：

和都是等边三角形，

，，，

又，，

，

在和中，

，

≌；

，

又，，

，

，

，

又，

四边形BCEF是平行四边形．