Question

【题目】如图，C是线段AB上一点，分别以AC、CB为边作等边三角形ACD和CBE，连结AE、BD，AE交DC、DB分别为F点、H点，BD交CE于G点，连结FG.求证:① ∠FAC=∠HDC ;② ∠HFG=∠HAC;③ ∠BHA=120 °.

Answer 1

【答案】①证明见解析；②证明见解析；③证明见解析.

【解析】

①由“ASA”可证△ACE≌△DCB，从而可以证明∠FAC =∠HDC；

②先证明△ACF≌△DCG得CF=CG，得出△FCG是等边三角形得∠GFC=∠ACD，从而可证明FG∥AB，进而证明结论；

③证明∠DHA=∠ACD=60°即可得结论.

①∵△ACD和△BCE是等边三角形，

∴∠ACD=∠BCE=60°，AC=DC，EC=BC，

∴∠ACD+∠DCE=∠DCE+∠ECB，

即∠ACE=∠DCB，

∴△ACE≌△DCB（SAS），

∴∠FAC =∠HDC；

②∵∠EAC=∠BDC，

∵∠ACD=∠BCE=60°，

∴∠DCE=60°，

∴∠ACD=∠DCG=60°，且∠EAC=∠BDC，AC=DC，

∴△ACF≌△DCG（ASA），

∴CF=CG，

∵∠FCG=60°

∴△FCG是等边三角形

∴∠GFC=∠ACD=60°，

∴FG∥AB，

∴∠HFG=∠HAC

③∵△ACE≌△DCB

∴∠CAE=∠BDC

∵∠ACD=∠BDC+∠CBD=60°

∴∠DHA=∠CAE+∠CBD=60°

∴∠BHA=120 °.