Question

【题目】数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：

如图①，正方形ABCD中，AB=6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合，三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q．

（1）求证：AP=CQ；

（2）如图②，小明在图①的基础上作∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并证明．

（3）如图③，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q，仍作∠PDQ的平分线DE交BC的延长线于点E，连接PE，若AB：AP=3：4，请帮小明算出△ DEQ的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）PE=QE，证明见解析；（3）

【解析】分析：(1)用ASA证明△ADP≌△CDQ；(2)用SAS证明△DEP≌△DEQ；(3)设QE＝PE＝x，则BE＝14－x，在Rt△BPE中，由勾股定理求QE，得S△DEQ，又△DEP≌△DEQ，则可求解.

详解：(1)证明：∵∠ADC＝∠PDQ＝90°，∴∠ADP＝∠CDQ．

在△ADP与△CDQ中，∠DAP＝∠DCQ＝90°，AD＝CD，∠ADP＝∠CDQ，

∴△ADP≌△CDQ(ASA)，∴AP＝CQ．

(2)PE＝QE．

证明：由(1)可知△ADP≌△CDQ，∴DP＝DQ．

∵DE平分∠PDQ，∴∠PDE＝∠QDE.

在△DEP与△DEQ中，DP＝DQ，∠PDE＝∠QDE，DE＝DE.

∴△DEP≌△DEQ(SAS)∴PE＝QE．

(3)解：∵AB：AP＝3：4，AB＝6，∴AP＝8，BP＝2．

与(1)同理，可以证明△ADP≌△CDQ，∴CQ＝AP＝8．

与(2)同理，可以证明△DEP≌△DEQ，∴PE＝QE．

设QE＝PE＝x，则BE＝BC＋CQ－QE＝14－x．

在Rt△BPE中，由勾股定理得：

解得：x＝，即QE＝．

∴S△DEQ＝QECD＝××6＝．

∵△DEP≌△DEQ，

∴S△DEP＝S△DEQ＝．