Question

【题目】在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=3，D为AB的中点，点P是AB上的一个动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F．

（1）求证：AE=PE；

（2）求证：DE=DF；

（3）连接EF，EF的最小值是多少？

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】分析：(1)证明△AEP是等腰直角三角形；(2)连接CD，用SAS证明△AED≌△CFD；(3)利用CP＝EF，即为求CP的最小值，当CP⊥AB时，CP取最小值.

详解：(1)∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠CAB＝45°.

∵PE⊥AC，∴∠AEP＝90°，∴∠APE＝90°－45°＝45°，

∴∠EAP＝∠APE，∴AE＝EP.

(2)连接CD，

∵∠C＝90°，D为AB的中点，∴CD＝AD.

∵AC＝BC，∴∠DCF＝45°，∴∠A＝∠FCD，

∵PE⊥AC，PF⊥BC，∴∠CEP＝∠CFP＝90°，

∴四边形CEPF是矩形，∴PE＝CF，∴AE＝CF，

∴△AED≌△CFD(SAS)，∴DE＝DF.

(3)∵四边形CEPF是矩形，所以EF＝CP.

∴EF最小时，CP也最小.

由垂线段最短得，当CP⊥AB时，CP最短，此时，点P与点D重合.

∵△ACP是等腰直角形，∴CP＝.

则EF的最小值是.