Question

【题目】如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，BD＝2，以AD为一边向右作等边三角形ADE．

（1）求△ABC的周长；

（2）判断AC、DE的位置关系，并给出证明．

Answer 1

【答案】（1）12；（2）AC⊥DE，理由见解析

【解析】

（1）根据等边三角形的性质求得BD=CD=2，即可求得BC=4，所以△ABC为边长为4的正三角形，从而求出三角形的周长；

（2）根据等边三角形的性质求得∠C=∠ADE=60°，再求出∠CDE=30°，从而得到∠CFD=90°即可得出结论．

解：（1）∵在等边△ABC中，AD⊥BC，BD＝2，

∴BD＝CD＝2，

∴BC＝BD+CD＝4，

∴等边△ABC的周长为：AB+BC+CA＝3BC＝12；

（2）AC、DE的位置关系：AC⊥DE．

∵△ABC和△ADE是等边三角形，

∴∠C＝60°，∠ADE＝60°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

在△CDF中，∵∠CDE＝90°﹣∠ADE＝30°，

∴∠CFD＝180°﹣∠C﹣∠CDE＝180°﹣60°﹣30°＝90°．

∴AC⊥DE．