Question

【题目】数学活动课上，某学习小组对有一内角（∠BAD）为120°的平行四边形ABCD，将一块含60°的直角三角板如图放置在平行四边形ABCD所在平面内旋转，且60°角的顶点始终与点C重合，较短的直角边和斜边所在的两直线分别交线段AB，AD于点E，F（不包括线段的端点）．
（1）初步尝试
如图1，若AD=AB，求证：①△BCE≌△ACF，②AE+AF=AC；
（2）类比发现
如图2，若AD=2AB，过点C作CH⊥AD于点H，求证：AE=2FH；
（3）深入探究：在（2）的条件下，学习小组某成员探究发现AE+2AF= AC，试判断结论是否正确，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

①证明：如图1中，

∵四边形ABCD 是平行四边形，∠BAD=120°，

∴∠D=∠B=60°，

∵AD=AB，

∴△ABC，△ACD都是等边三角形，

∴∠B=∠CAD=60°，∠ACB=60°，BC=AC，

∵∠BCF=60°，

∴∠BCE+∠ACE=∠ACF+∠ACE=60°，

∴∠BCE=∠ACF，

在△BCE和△ACF中，

，

∴△BCE≌△ACF．

②如图1中，

∵△BCE≌△ACF，

∴BE=AF，

∴AE+AF=AE+BE=AB=AC．

∴AE+AF=AC．

（2）

证明：如图2中，

设DH=x，由题意CD=2x，CH= x．

∴AD=2AB=4x，AH=AD﹣DH=3x，

∵CH⊥AD，

∴AC= =2 x，

∴AC2+CD2=16x2，AD2=16x2，

∴AC2+CD2=AD2，

∴∠ACD=90°，

∴∠BAC=∠ACD=90°，

∴∠CAD=30°，

∴∠ACH=60°，

∵∠ECF=60°=∠ACH，

∴∠HCF=∠ACE，

∴△ACE∽△HCF，

∴ = =2，

∴AE=2FH．

（3）

结论正确．

理由：如图2中，由（2）可知，设FH=α，则AE=2a，设AH=x，则AH=3x，

易知AC=2 x，

∴AF=3x﹣a，

∴AE+2AF=2a+2（3x﹣a）=6x= AC．

【解析】（1）①首先证明△ABC，△ACD都是等边三角形，根据ASA即可证明．②利用①中结论，即可证明．（2）首先利用勾股定理逆定理证明△ACD是直角三角形，再证明△ACE∽△HCF，即可推出 = =2．（3）利用代数法证明，如图2中，由（2）可知，设FH=α，则AE=2a，设AH=x，则AH=3x，易知AC=2 x，AF=3x﹣a，即可得出AE+2AF=2a+2（3x﹣a）=6x= AC．
【考点精析】关于本题考查的相似三角形的应用，需要了解测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解才能得出正确答案．