Question

【题目】如图，抛物线y=ax2﹣6x+c与x轴交于点A、B（5，0），与y轴交于点C（0，5），点P是抛物线上的动点，设点P的横坐标为t，连接PB、PC，PC与x轴交于点D，过点P作y轴的平行线交x轴于点H、交直线BC于点E．

（1）求该抛物线所对应的函数解析式；
（2）若点P在第四象限，则△BPC的面积有值（填“最大”或“最小”），并求出其值；
（3）当t＜5时，△BPE能否为等腰三角形？若能，请求出此时点P的坐标；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵B（5，0），C（0，5），

∴c=5，0=25a﹣30+c，解得a=1，

∴抛物线解析式为y=x2﹣6x+5；

（2）最大
（3）

解：存在．理由如下：

由题意可知P（t，t2﹣6t+5），则H（t，0），E（t，﹣t+5），且△BHE为等腰直角三角形，

∴BE= BH= （5﹣t），

∵△BPE为等腰三角形，

∴有PE=PB、BE=BP和BE=PE三种情况，

①当PE=PB时，由于∠PEB=45°，

∴△PEB为等腰直角三角形，点P在A点处，即P（1，0），符合题意；

②当BE=BP时，由于PE⊥BH，

∴HE=HP，即点E与点P关于x轴对称，

∴﹣t+5+t2﹣6t+5=0，解得t=2或t=5（不合题意，舍去），

∴P（2，﹣3）；

③当BE=PE时，

∵△EHB为等腰直角三角形，

∴BE= HB= （5﹣t），且PE=|﹣t2+5t|，

∴|﹣t2+5t|= （5﹣t），解得t=± 或t=5（不舍题意，舍去），

∴P（ ，7﹣6 ）或（﹣ ，7+6 ）；

综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（1，0）或（2，﹣3）或（ ，7﹣6 ）或（﹣ ，7+6 ）．

【解析】（2）∵B（5，0），C（0，5），
∴直线BC解析式为y=﹣x+5，
∵P的横坐标为t，连接PB、PC，PC与x轴交于点D，过点P作y轴的平行线交x轴于点H、交直线BC于点E．
∴P（t，t2﹣6t+5），E（t，﹣t+5），
∴PE=﹣t+5﹣（t2﹣6t+5）=﹣t2+5t，
∴S△PBC= OBPE= ×5（﹣t2+5t）=﹣ （t﹣ ）2+ ，
∵﹣ ＜0，
∴S△PBC有最大值，最大值为 ，
所以答案是：最大；
【考点精析】根据题目的已知条件，利用二次函数的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．