Question

【题目】如图，以△ABC的边AB为直径作⊙O，交边BC于点D，点E是 上一点．
（1）若AC为⊙O的切线，试说明：∠AED=∠CAD；
（2）若AE平分∠BAD，延长DE、AB交于点P，若PB=BO，DE=2，求PD的长．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∵AC是切线，

∴∠CAB=90°，

∴∠DAB+∠DBA=90°，∠DAB+∠CAD=90°，

∴∠CAD=∠DBA，

∵∠DBA=∠AED，

∴∠AED=∠CAD．

（2）解：连接OE．

∵AE平分∠BAD，

∴∠DAE=∠EAB，

∵OA=OE，

∴∠AEO=∠EAB，

∴∠DAE=∠AEO，

∴AD∥OE，

∴ = = ，

∴DP=3DE=6．

【解析】（1）首先证明∠CAD=∠B，根据∠AED=∠B即可证明结论．（2）只要证明AD∥OE，可得 = = ，由此即可解决问题．
【考点精析】本题主要考查了切线的性质定理的相关知识点，需要掌握切线的性质：1、经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线2、经过切点垂直于切线的直线必经过圆心3、圆的切线垂直于经过切点的半径才能正确解答此题．