Question

【题目】已知关于x的一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0．

（1）求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根．第三边BC的长为5，

①若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，求k的值．

②若△ABC是等腰三角形，求k的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）①,②k的值为5或4．

【解析】

（1）先计算出△=1，然后根据判别式的意义即可得到结论；

（2）①先利用公式法求出方程的解为x1=k，x2=k+1，再利用勾股定理的逆定理AB2+AC2=BC2建立关于k的方程，解出k的值，然后满足两根为正根的k的值为所求；

②分类讨论：AB=k，AC=k+1，当AB=BC或AC=BC时△ABC为等腰三角形，然后求出k的值．

（1）证明：∵b2－4ac＝（2k+1）2﹣4（k2+k）＝1＞0，

∴方程有两个不相等的实数根；

（2）一元二次方程x2﹣（2k+1）x+k2+k＝0的解为x＝，即x1＝k，x2＝k+1，

①得；

②∵k＜k+1，

∴AB≠AC．

当AB＝k，AC＝k+1，且AB＝BC时，△ABC是等腰三角形，则k＝5；

当AB＝k，AC＝k+1，且AC＝BC时，△ABC是等腰三角形，则k+1＝5，解得k＝4，

综合上述，k的值为5或4．