Question

【题目】已知：如图，四边形ABCD四条边上的中点分别为E、F、G、H，顺次连接EF、FG、GH、HE，得到四边形EFGH（即四边形ABCD的中点四边形）．

（1）四边形EFGH的形状是_____，

证明你的结论．

（2）当四边形ABCD的对角线满足_____条件时，四边形EFGH是矩形；

（3）当四边形ABCD的对角线满足_____条件时，四边形EFGH是菱形；

（4）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是矩形？_____；

（5）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是菱形？_____；

（6）你学过的哪种特殊四边形的中点四边形是正方形？_____．

Answer 1

【答案】 平行四边形 AC⊥BD AC=BD 菱形 矩形 正方形

【解析】试题分析：（1）连接BD，根据三角形的中位线定理得到EH∥BD，EH=BD，FG∥BD，FG═BD，推出，EH∥FG，EH=FG，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形得出四边形EFGH是平行四边形；

（2）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形，可知当四边形ABCD的对角线满足AC⊥BD的条件时，四边形EFGH是矩形；

（3）添加的条件应为：AC=BD，把AC=BD作为已知条件，根据三角形的中位线定理可得，HG平行且等于AC的一半，EF平行且等于AC的一半，根据等量代换和平行于同一条直线的两直线平行，得到HG和EF平行且相等，所以EFGH为平行四边形，又EH等于BD的一半且AC=BD，所以得到所证四边形的邻边EH与HG相等，所以四边形EFGH为菱形．

（4）菱形的中点四边形是矩形．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH∥BD，EF∥AC，再根据矩形的每一个角都是直角可得∠1=90°，然后根据平行线的性质求出∠3=90°，再根据垂直定义解答；

（5）菱形的中点四边形是矩形．根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得EH∥BD，EF∥AC，再根据矩形的每一个角都是直角可得∠1=90°，然后根据平行线的性质求出∠3=90°，再根据垂直定义解答；

（6）根据邻边相等的矩形为正方形进行解答．

试题解析：解：（1）四边形EFGH的形状是平行四边形．理由如下：

如图，连结BD．∵E、H分别是AB、AD中点，∴EH∥BD，EH=BD，同理FG∥BD，FG=BD，∴EH∥FG，EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形；

（2）当四边形ABCD的对角线满足互相垂直的条件时，四边形EFGH是矩形．理由如下：

如图，连结AC、BD．∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，∴EH∥BD，HG∥AC．∵AC⊥BD，∴EH⊥HG．又∵四边形EFGH是平行四边形，∴平行四边形EFGH是矩形；

（3）∵E，F，G，H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，∴在△ADC中，HG为△ADC的中位线，所以HG∥AC且HG=AC；同理EF∥AC且EF=AC，同理可得EH=BD，则HG∥EF且HG=EF，∴四边形EFGH为平行四边形，又AC=BD，所以EF=EH，∴四边形EFGH为菱形．

（4）菱形的中点四边形是矩形．理由如下：

如图，连结AC、BD．∵E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边上的中点，span>∴EH∥BD，HG∥AC，FG∥BD，EH=BD，FG=BD，∴EH∥FG，EH=FG，∴四边形EFGH是平行四边形．

∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD．∵EH∥BD，HG∥AC，∴EH⊥HG，∴平行四边形EFGH是矩形；

（5）矩形的中点四边形是菱形．理由如下：

理由如下：

如图，连接AC、BD．在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB，∴EH=BD，同理FG=BD，HG=AC，EF=AC．又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE，∴四边形EFGH为菱形．

（6）连接AC、BD．∵E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，∴EF=AC，GH=AC，EH=BD，GF=BD．∵AB=CD，∴AC=BD，∴EF=GH=EH=GF，∴四边形EFGH菱形．∵∠HEF=90°，∴四边形EFGH正方形．故答案为：平行四边形；AC⊥BD；AC=BD；菱形；矩形；正方形．