Question

【题目】如图，等边△AOB中点O是原点，点A在y轴上，点B的坐标是（2 ，2），小明做一个数学实验，在x轴上取一动点C，以AC为一边画出等边△ACP，移动点C时，探究点P的位置变化情况．

（1）如图，小明将点C移至x轴负半轴，在AC的右侧画出等边△ACP，并使得顶点P在第三象限时，连接BP，求证：△AOC≌△ABP；
（2）小明在x轴上移动点C，并在AC的右侧画出等边△ACP时，发现点P在某函数图象上，请求出点P所在函数图象的解析式．
（3）小明在x轴上移动点C点时，若在AC的左侧画出等边△ACP，点P会不会在某函数图象上？若会在某函数图象上，请直接写出该函数图象的解析式，若不在某函数图象上，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：如图，

∵△AOB与△ACP都是等边三角形，

∴OA=AB，A=AP，CAP=∠OAB=60°．

∴∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO．

∴∠CAO=∠PAB．

在△AOC与△PAB中，

，

∴△AOC≌△ABP

（2）

解：由（1）可知，△AOC≌△ABP，

∴∠COA=∠PBA=90°，

∴点P在过点A且与AB垂直的直线上，

在等边△AOB中，B（2 ，2），

∴AB=4，

当点C移动，使得P在y轴上时，

∵△PAB是直角三角形，∠PAB=60°，

∴PA= =8，

∴P（0，﹣4），

设直线PB的解析式为y=kx﹣4，把B（2 ，2）代入得到k= ，

∴点P所在函数图象的解析式为y= x﹣4

（3）

会在函数的图象上，如图作B的对称点B′，连接AB′，OB′．

由（2）可知，P′B′⊥AB′，同法可得直线P′B′的解析式为t=﹣ x﹣4．

∴该函数图象的解析式为y=﹣ x﹣4

【解析】（1）利用等边三角形的性质，根据SAS根据解决问题．（2）首先证明点P在过点A且与AB垂直的直线上，求出特殊点（P在y轴上的点），利用待定系数法即可解决问题．（3）如图作B的对称点B′，连接AB′，OB′．由（2）可知，P′B′⊥AB′，同法可得直线P′B′的解析式为t=﹣ x﹣4．
【考点精析】通过灵活运用等边三角形的性质，掌握等边三角形的三个角都相等并且每个角都是60°即可以解答此题．