Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，经过的点A（﹣4，0）、点B（6，0）的 抛物线与y轴相交于点C（0，m），连接BC．

（1）若△OAC∽△OCB，请求出m的值；
（2）当m=3时，试求出抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若P为抛物线上位于x轴上方的一动点，以P、A、B、C为顶点的四边形面积记作S，当S取何值时，相应的点P有且只有3个？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵A（﹣4，0）、B（6，0）、C（0，m），

∴OA=4，OB=6，OC=m，

∵△OAC∽△OCB，

∴ = ，

∴OC2=OAOB，即m2=24，

∴m=2

（2）

解：当m=3时，C（0，3），

∴设抛物线解析式为y=ax2+bx+3（a≠0）．

把A（﹣4，0）、B（6，0）代入，得

，

解得 ，

故该抛物线解析式为：y=﹣ x2+ x+3

（3）

解：设P（x，﹣ x2+ x+3）．

①若点P在OC的左侧，连接OP．

S=S△AOP+S△POC+S△OBC

= ×4×（﹣ x2+ x+3）﹣ ×3x+ ×6×3

=﹣ （x+2）2+16；

②若点P在OC的右侧，连接OP．

S=S△ACO+S△POC+S△POB

= ×4×3+ ×3x+ ×6×（﹣ x2+ x+3）

=﹣ （x﹣3）2+ ，

＞16，

∴当点P在OC的左侧时，四边形PCAB的面积最大值是16，此时点P的位置只有一个．

16=﹣ （x﹣3）2+ ，

解得x=3± ，

∴当点P在OC的右侧时，四边形PCAB的面积等于16，的对应点P的位置有2个．

综上所述，以P、A、B、C为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个．

【解析】（1）利用相似三角形的对应边成比例求得m的值即可；（2）利用待定系数法求得抛物线解析式；（3）需要分类讨论：点P在OC的左侧、右侧两种情况．利用分割法求得S的值，进行比较即可得到答案．
【考点精析】掌握二次函数的图象和二次函数的性质是解答本题的根本，需要知道二次函数图像关键点：1、开口方向2、对称轴 3、顶点 4、与x轴交点 5、与y轴交点；增减性：当a>0时，对称轴左边，y随x增大而减小；对称轴右边，y随x增大而增大；当a<0时，对称轴左边，y随x增大而增大；对称轴右边，y随x增大而减小．