Question

【题目】已知，抛物线y＝-x2 +bx+c交y轴于点C（0,2），经过点Q（2,2）.直线y＝x+4分别交x轴、y轴于点B、A.

（1）直接填写抛物线的解析式________；

（2）如图1，点P为抛物线上一动点（不与点C重合），PO交抛物线于M，PC交AB于N，连MN.

求证：MN∥y轴；

（3）如图,2，过点A的直线交抛物线于D、E，QD、QE分别交y轴于G、H.求证：CG CH为定值.

Answer 1

【答案】y=-x2+x+2

【解析】分析：（1）把点C、D代入y＝-x2 +bx+c求解即可.

（2）分别设PM、PC的解析式，由于PM、PC与抛物线的交点分别为：M、N.，分别求出M、N的代数式即可求解.

（3）先设G、H的坐标，列出QG、GH的解析式，得出与抛物线的交点D、E的横坐标，再列出直线AE的解析式，算出它与抛物线横坐标的交点方程.运用韦达定理即可求证.

详解：（1）∵y＝-x2 +bx+c过点C（0,2），点Q（2,2），

∴,解得：.

∴y=-x2+x+2；

（2） 设PM：y=mx，PC：y=kx+2.由 得x2+（k-1）x=0,

xp=.由 得x2+(m-i)x-2=0，xpxm=-4，∴xm==.

由得xN==xM, ∴MN∥y轴.

（3）设G（0，m）,H（0，n）.

得QG：y=x+m，QH：y=x+n.

由 得xD=m-2. 同理得xE=n-2.

设AE：y=kx+4，由，得x2-(k-i)x+2=0.

∴xDxE=4，即（m-2）（n-2）=4.

∴CGCH=（2-m）（2-n）=4.