Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，C是 的中点，CE⊥AB于E，BD交CE于点F．
（1）求证：CF=BF；
（2）若CD=6，AC=8，求⊙O的半径．

Answer 1

【答案】
（1）证明：延长CE交⊙O于点P，

∵CE⊥AB，

∴ = ，

∴∠BCP=∠BDC，

∵C是 的中点，

∴CD=CB，

∴∠BDC=∠CBD，

∴∠CBD=∠BCP，

∴CF=BF

（2）解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB=90°，

∵CD=6，AC=8，

∴BC=6，

在Rt△ABC中，AB= =10，

∴⊙O的半径为5．

【解析】（1）首先延长CE交⊙O于点P，由垂径定理可证得∠BCP=∠BDC，又由C是 的中点，易证得∠BDC=∠CBD，继而可证得CF=BF；（2）由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠ACB=90°，然后由勾股定理求得AB的长，继而求得答案．
【考点精析】解答此题的关键在于理解勾股定理的概念的相关知识，掌握直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方,即;a2+b2=c2，以及对圆心角、弧、弦的关系的理解，了解在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等；在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．