Question

【题目】如图，矩形ABCD中，O是AC与BD的交点，过O点的直线EF与AB，CD的延长线分别交于E，F．

（1）求证：△BOE≌△DOF；

（2）当EF与AC满足什么关系时，以A，E，C，F为顶点的四边形是菱形？证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形，证明见解析.

【解析】试题分析：（1）根据矩形的性质定理可得OB=OD，AE∥CF，利用AAS即可证得△BOE≌△DOF；（2）添加条件EF⊥AC，先证明四边形AECF是平行四边形，即可得四边形AECF是菱形.

试题解析：

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴OB=OD（矩形的对角线互相平分），

AE∥CF（矩形的对边平行）．

∴∠E=∠F，∠OBE=∠ODF．

∴△BOE≌△DOF（AAS）．

（2）当EF⊥AC时，四边形AECF是菱形．

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OC（矩形的对角线互相平分）．

又∵由（1）△BOE≌△DOF得，OE=OF，

∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）

又∵EF⊥AC，

∴四边形AECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）．