Question

【题目】如图，点A，B在⊙O上，点C在⊙O外，连接AB和OC交于D，且OB⊥OC，AC=CD.

（1）判断AC与⊙O的位置关系，并证明你的结论；

（2）若OC=13，OD=1，求⊙O的半径及tanB．

Answer 1

【答案】（1）AC是⊙O的切线；见解析（2）．

【解析】

试题分析：（1）根据已知条件“∠CAD=∠CDA”、对顶角∠BDO=∠CDA可以推知∠BDO=∠CAD；然后根据等腰三角形OAB的两个底角相等、直角三角形的两个锐角互余的性质推知∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，即∠OAC=90°，可得AC是⊙O的切线．

（2）由勾股定理求出OA，得出OB，由三角函数的定义求出tanB即可．

（1）证明：连接OA，如图所示：

∵AC=CD，

∴∠CAD=∠CDA，

∵∠BDO=∠CDA，

∴∠BDO=∠CAD，

又∵OA=OB，

∴∠B=∠OAB，

∵OB⊥OC，

∴∠B+∠BDO=∠OAB+∠CAD=90°，

即∠OAC=90°，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：∵OC=13，OD=1，

∴AC=CD=OC﹣OD=12，

∴OA===5，

即⊙O的半径为5，

∵OB=OA=5，

∴tanB==．