Question

【题目】如图，在直角坐标系xOy中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴和y轴正半轴上，点B的坐标是（5，2），点P是CB边上一动点（不与点C、点B重合），连结OP、AP，过点O作射线OE交AP的延长线于点E，交CB边于点M，且∠AOP=∠COM，令CP=x，MP=y．

（1）当x为何值时，OP⊥AP？
（2）求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
（3）在点P的运动过程中，是否存在x，使△OCM的面积与△ABP的面积之和等于△EMP的面积？若存在，请求x的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由题意知，OA=BC=5，AB=OC=2，∠B=∠OCM=90°，BC∥OA，

∵OP⊥AP，

∴∠OPC+∠APB=∠APB+∠PAB=90°，

∴∠OPC=∠PAB，

∴△OPC∽△PAB，

∴ ，即 ，

解得x1=4，x2=1（不合题意，舍去）．

∴当x=4时，OP⊥AP

（2）

解：∵BC∥OA，

∴∠CPO=∠AOP，

∵∠AOP=∠COM，

∴∠COM=∠CPO，

∵∠OCM=∠PCO，

∴△OCM∽△PCO，

∴ ，即 ，

∴ ，x的取值范围是2＜x＜5；

（3）

解：假设存在x符合题意，

过E作ED⊥OA于点D，交MP于点F，则DF=AB=2，

∵△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积，

∴ ，

∴ED=4，EF=2，

∵PM∥OA，

∴△EMP∽△EOA，

∴ ，即 ，

解得 ，

∴由（2） 得， ，

解得 （不合题意舍去），

∴在点P的运动过程中，存在 ，使△OCM与△ABP面积之和等于△EMP的面积．

【解析】（1）根据相似三角形的判定定理证明△OPC∽△PAB，根据相似三角形的性质列出比例式，得到一元二次方程，解方程即可；（2）证明△OCM∽△PCO，根据相似三角形的性质列出比例式即可求解；（3）过E作ED⊥OA于点D，交MP于点F，根据题意得到△EOA的面积=矩形OABC的面积，求出ED的长，根据相似三角形的性质求出PM，由（2）的解析式计算即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用相似三角形的应用的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握测高：测量不能到达顶部的物体的高度，通常用“在同一时刻物高与影长成比例”的原理解决；测距：测量不能到达两点间的举例，常构造相似三角形求解．