【题目】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c，显然∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE．

（1）请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再通过探究这三个图形面积之间的关系，证明：勾股定理a2+b2＝c2；

（2）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝24千米，BC＝16千米，在AB上有一个供应站P，且PC＝PD，求出AP的距离；

（3）借助（2）的思考过程与几何模型，直接写出代数式的最小值为　 　．

参考答案：

【答案】（1）见解析；（2）16千米；（3）20　．

【解析】

（1）表示出三个图形的面积进行加减计算可证a2+b2＝c2

（2）以（1）中关于直角三角形的结论和K型模型建立方程关系，解方程可得AP的值

（3）将条件中的数表示为直角三角形的直角边，画对应图形，作轴对称图形，在三点共线时有最小值．

解：（1）梯形ABCD的面积

四边形AECD的面积

△EBC的面积

∵梯形ABCD的面积＝四边形AECD的面积+△EBC的面积

∴

∴a2+b2＝c2

（2）如图，当DP＝PC时

设AP＝a，BP＝40﹣a

∵DP2＝CP2

∴AP2+AD2＝BP2+CB2

∴a2+242＝（40﹣a）2+162

解得 a＝16

∴AP＝16千米

（3）如图，

∴AB+BC的最小值即为H、B、C三点共线时

HC＝＝20

∴的最小值为20

故答案为:20

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