Question

【题目】（问题情境）

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：

（1）如图①，中，，若，点是斜边上一动点，求线段的最小值．

在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：

根据直线外一点和直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，得到：

当时，线段取得最小值．请你根据小明的思路求出这个最小值．

（思维运用）

（2）如图，在中，，，为斜边上一动点，过作于点，过作于点，求线段的最小值．

（问题拓展）

（3）如图，，线段上的一个动点，分别以为边在的同侧作菱形和菱形，点在一条直线上．，分别是对角线的中点，当点在线段上移动时，点之间的距离的最小值为_____．（直接写出结果，不需要写过程）

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）利用三角形的面积相等即可求解；

（2）连接CM，先证明四边形CDME是矩形，得出DE=CM，再由三角形的面积关系求出CM的最小值，即可得出结果．

（3）连接PM、PN．首先证明∠MPN=90°，设PA=2a，则PB=6-2a，PM=a，PN=(3-a)，构建二次函数，利用二次函数的性质即可解决问题；

解：（1）如图，当时，线段取得最小值．

∵中，，，

∴AB=,

∵,

∴,

∴，

故CM的最小值为.

（2）连接CM，如图所示：

∵MD⊥AC，ME⊥CB，
∴∠MDC=∠MEC=90°，
∵∠C=90°，
∴四边形CDME是矩形，
∴DE=CM，
∵∠C=90°，BC=3，AC=4，
∴AB=

当CM⊥AB时，CM最短，

∵

∴,

∴

∴线段DE的最小值为；
故答案为：．

（3）连接PM、PN．
∵四边形APCD，四边形PBFE是菱形，∠DAP=60°，
∴∠APC=120°，∠EPB=60°，
∵M，N分别是对角线AC，BE的中点，
∴∠CPM=∠APC=60°，∠EPN=∠EPB=30°，
∴∠MPN=60°+30°=90°，
设PA=2a，则PB=6-2a，PM=a，PN=(3-a)，

,

∴a=时，点M，N之间的距离最短，最短距离为，
故答案为：．