Question

【题目】（1）问题情境：如图1，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别为AB，BC，CD，DA边上的动点，连接EG，HF相交于点O，且∠HOE=∠ADC．试探究：EG与FH的数量关系，并说明理由．

（2）拓展延伸：如图2，在菱形ABCD中，E、F、G、H分别为AB，BC，CD，DA边上的动点，连接EG，HF相交于点O，且∠HOE=∠ADC，试探究：（1）中EG与FH的数量关系还成立吗？并说明理由．

（3）反思提升：若将（2）中的菱形ABCD改为平行四边形ABCD（如图3），AB=a，AD=b，其他条件不变，则的猜想正确吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）EG=FH,理由见解析；（2）成立，理由见解析；（3）正确，理由见解析.

【解析】

试题分析：（1）过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，由正方形的性质和矩形的性质易得GM=HN，再利用四边形的内角和为360°，可得∠DHO+∠DGE=360°-90°-90°=180°，易得∠HFN=∠GEM，由AAS定理可证得△GME≌△HNF，利用全等三角形的性质可得结论；

（2）过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，由菱形的性质可得DC=AB=BC，AD∥BC，DC∥AB，利用菱形的面积公式易得GM=HN，由AAS定理，易证得△GME≌△HNF，又全等三角形的性质可得结论；

（3）过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，利用平行四边形的性质和面积公式可得，易得△GME∽△HNF，利用相似三角形的性质可得猜想正确．

试题解析：（1）EG=FH

理由是：如图1，过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠D=∠A=∠B=∠C=90°，

又∵GM⊥AB，HN⊥BC

∴四边形ADGM、四边形AHNB是矩形，

∴HN=AB，AD=GM，

∴HN=GM，

∵∠ADC=∠HOE=90°，

∴∠DHO+∠DGE=360°-90°-90°=180°，

∵AD∥BC，DC∥AB，

∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，

∴∠HFN=∠GEM，

∵HN⊥BC，GM⊥AB，

∴∠GME=∠HNF=90°，

在△GME和△HNF中

，

∴△GME≌△HNF（AAS），

∴EG=FH；

（2）EG=FH，

理由是：如图2，过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，

∵四边形ABCD是菱形，

∴DC=AB=BC，AD∥BC，DC∥AB，

∵菱形ABCD的面积S=AB×GM=BC×HN，

∴GM=HN，

∵GM⊥AB，HN⊥BC，

∴∠GME=∠HNF=90°，

∵∠ADC=∠HOE，

∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°

∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°，

∵AD∥BC，DC∥AB，

∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，

∴∠HFN=∠GEM，

在△GME和△HNF中

，

∴△GME≌△HNF（AAS），

∴EG=FH；

（3）正确．

理由是：如图3，过G作GM⊥AB于M，过H作HN⊥BC于N，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，DC∥AB，

∵平行四边形ABCD的面积S=AB×GM=BC×HN

∵AB=a，AD=b，

∴，

∵GM⊥AB，HN⊥BC，

∴∠GME=∠HNF=90°，

∵∠ADC=∠HOE，

∴∠ADC+∠HOG=∠EOH+∠HOG=180°，

∴∠DHO+∠DGE=360°-180°=180°，

∵AD∥BC，DC∥AB，

∴∠NFH=∠DHF，∠DGE+∠GEM=180°，

∴∠HFN=∠GEM，

∴△GME∽△HNF，

∴．