Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点B的坐标为（3，0），与轴交于点C（0，-3），顶点为D．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标．

（2）联结AC，BC，求∠ACB的正切值．

（3）点P是x轴上一点，是否存在点P使得△PBD与△CAB相似，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

（4）M是抛物线上一点，点N在轴，是否存在点N，使得以点A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1），D（1，-4）；（2）2；（3）P（，0）或P（－3，0）；（4）N（1，0）或（，0）或（－3，0）．

【解析】试题分析：（1）利用待定系数法，把B、C点的坐标代入解析式即可求解；

（2）作AH⊥BC于点H，通过与x轴的交点y=0构成方程，解方程可得A点的坐标，然后解直角三角形可求解；

（3）作DG⊥OB于点G ，tan∠DBG=tan∠ACB，可得∠DBG=∠ACB，然后利用相似三角形的性质和判定讨论得到P点在在点B的左侧，再根据相似三角形的对应边成比例求解即可；

（4）设M点的坐标为（x，x2-2x-3），然后根据A、C点和M的坐标，结合平行四边形的性质与判定求出N点的坐标即可.

试题解析：（1）y=x2-2x-3

D（1，-4）

（2）作AH⊥BC于点H

x2-2x-3=0

解得x=-1或x=3

所以A点为（-1，0）

∵ OB=OC，∠BOC=90°

∴∠OBC=45°

∵AB=4

∴AH=BH=2

∵BC=3

∴CH=

∴tan∠ACB=2

（3）作DG⊥OB于点G

∵BG=2，DG=4

∴tan∠DBG=2

∵tan∠ACB=2

∴∠DBG=∠ACB

当点P在点B的右侧时，∠PBD＞90°，△PBD是钝角三角形与△CAB不相似，

所以点P在点B的左侧.

∵△PBD与△CAB相似，且∠DBG=∠ACB

∴ 或

∵BD=2

∴BP=或BP=6

∴P（-，0）或P（-3，0）

（4）N（1，0）或（，0）或（－3，0）．