Question

【题目】实验中学学生在学习等腰三角形性质“三线合一”时

（1）（探究发现）如图1，在△ABC中，若AD平分∠BAC，AD⊥BC时，可以得出AB＝AC，D为BC中点，请用所学知识证明此结论．

（2）（学以致用）如果Rt△BEF和等腰Rt△ABC有一个公共的顶点B，如图2，若顶点C与顶点F也重合，且∠BFE＝∠ACB，试探究线段BE和FD的数量关系，并证明．

（3）（拓展应用）如图3，若顶点C与顶点F不重合，但是∠BFE＝∠ACB仍然成立，（学以致用）中的结论还成立吗？证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）结论：DF＝2BE；（3）结论不变：DF＝2BE．

【解析】

（1）只要证明△ADB≌△ADC（ASA）即可．

（2）结论：DF＝2BE．如图2中，延长BE交CA的延长线于K．想办法证明△BAK≌△CAD（ASA）即可解决问题．

（3）如图3中，结论不变：DF＝2BE．作FK∥CA交BE的延长线于K，交AB于J．利用（2）中结论证明即可．

解：（1）如图1中，

∵AD⊥BC，

∴∠ADB＝∠ADC＝90°，

∵DA平分∠BAC，

∴∠DAB＝∠DAC，

∵AD＝AD，

∴△ADB≌△ADC（ASA），

∴AB＝AC，BD＝DC．

（2）结论：DF＝2BE．

理由：如图2中，延长BE交CA的延长线于K．

∵CE平分∠BCK，CE⊥BK，

∴由（1）中结论可知：CB＝CK，BE＝KE，

∵∠∠BAK＝∠CAD＝∠CEK＝90°，

∴∠ABK+∠K＝90°，∠ACE+∠K＝90°，

∴∠ABK＝∠ACD，

∵AB＝AC，

∴△BAK≌△CAD（ASA），

CD＝BK，

∴CD＝2BE，即DF＝2BE．

（3）如图3中，结论不变：DF＝2BE．

理由：作FK∥CA交BE的延长线于K，交AB于J．

∵FK∥AC，

∴∠FJB＝∠A＝90°，∠BFK＝∠BCA，

∵∠JBF＝45°，

∴△BJF是等腰直角三角形，

∵∠BFE＝ACB，

∴∠BFE＝∠BFJ，

由（2）可知：DF＝2BE．