Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，D为⊙O上一点，过上一点T作⊙O的切线TC，且TC⊥AD于点C．

（1）若∠DAB=50°，求∠ATC的度数；

（2）若⊙O半径为2，CT=，求AD的长．

Answer 1

【答案】(1)、65°；(2)、2.

【解析】

试题分析：(1)、连接OT，根据同角的余角相等得出∠CAD=∠ATO，进而得出∠DAB=2CAT，解答即可；(2)、过O作OE⊥AC于E，连接OT、OD，得出矩形OECT，求出OT=CE，根据垂径定理求出DE，根据矩形性质求出OT=CT，根据勾股定理求出即可．

试题解析：(1)、连接OT，如图1：

∵TC⊥AD，⊙O的切线TC， ∴∠ACT=∠OTC=90°， ∴∠CAT+∠CTA=∠CTA+∠ATO， ∴∠CAT=∠ATO，

∵OA=OT， ∴∠OAT=∠ATO， ∴∠DAB=2∠CAT=50°， ∴∠CAT=25°， ∴∠ATC=90°﹣25°=65°；

(2)、过O作OE⊥AC于E，连接OT、OD，如图2：

∵AC⊥CT，CT切⊙O于T， ∴∠OEC=∠ECT=∠OTC=90°， ∴四边形OECT是矩形，

∴OT=CE=OD=2， ∵OE⊥AC，OE过圆心O， ∴AE=DE=AD， ∵CT=OE=，

在Rt△OED中，由勾股定理得：ED=1， ∴AD=2．