Question

【题目】在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，M为AB的中点．D是射线BC上一个动点，连接AD，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，连接ED，N为ED的中点，连接AN，MN．

（1）如图1，当BD=2时，AN=___ __，NM与AB的位置关系是____ _____；

（2）当4<BD<8时，

①依题意补全图2；

②判断（1）中NM与AB的位置关系是否发生变化，并证明你的结论；

（3）连接ME，在点D运动的过程中，当BD的长为何值时，ME的长最小？最小值是多少？请直接写出结果．

Answer 1

【答案】（1），垂直；（2）①补图见解析；②结论（1）成立，证明见解析.

【解析】试题分析：（1）由已知条件得到CD=2，由勾股定理求出AD，由旋转的性质得到△ADE是等腰直角三角形，求出DE、AD的长度，再由直角三角形的性质推出AN=DE，AM=AB，推出△ACD∽△AMN，根据三角形相似的性质即可得出结论；（2）①根据题意补全图形即可；②根据等腰直角三角形性质得到∠CAB=∠B=45°，求得∠CAN +∠NAM=45°，根据旋转的性质得到AD=AE，∠DAE=90°，推出△AMN∽△ADC，由三角形相似的性质得到∠AMN=∠ACD，即可得出结论；（3）连接ME、EB，过M 作MG⊥EB于点G，过A作AK⊥AB交BD于的延长线于K，得到△AKB是等腰直角三角形，推出△ADK≌△ABE，根据全等的性质可得∠ABE=∠K=45°，证得△BMG是等腰直角三角形，求出BC=4，AB=4，MB=2，因为ME≥MG，所以当ME=MG时，ME的值最小，直接写出结论即可.

试题解析：

（1）∵∠ACB=90°，AC=BC=4，BD=2，

∴AD==2，

∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，

∴△ADE是等腰直角三角形，

∴DE=AD=2，

∵N是ED的中点，

∴AN=DE=，

∵M是AB中点，

∴AM=AB=2，

∵==， ==，

∴=，

∵∠CAB=∠DAN=45°，

∴∠CAD=∠MAN，

∴△ACD∽△AMN，

∴∠AMN=∠C=90°，

∴MN⊥AB；

（2）①补全图形如图所示；

②结论：（1）中NM与AB的位置关系不变．

证明：∵∠ACB=90°，AC=BC，

∴∠CAB=∠B=45°，

∴∠CAN +∠NAM=45°，

∵AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，

∴AD=AE，∠DAE=90°，

∵N为ED的中点，

∴∠DAN=∠DAE=45°，AN⊥DE，

∴∠CAN +∠DAC =45°，∠AND=90°，

∴∠NAM =∠DAC，

在Rt△AND中， =cos∠DAN= cos45°=，

在Rt△ACB中， =cos∠CAB= cos45°=，

∵M为AB的中点，

∴AB=2AM，

∴，

∴即，

∴，

∴△ANM∽△ADC ，

∴∠AMN=∠ACD，

∵点D在线段BC的延长线上，

∴∠ACD=180°－∠ACB =90°，

∴∠AMN=90°，

∴NM⊥AB．

（3）当BD的长为6时，ME的长的最小值为 2 ．

连接ME、EB，过M 作MG⊥EB于点G，过A作AK⊥AB交BD于的延长线于K，则△AKB是等腰直角三角形，

再△ADK和△ABE中，

,

∴△ADK≌△ABE，

∴∠ABE=∠K=45°，

∴△BMG是等腰直角三角形，

∵BC=4，

∴AB=4，MB=2，

∴MG=2，

∵∠G=90°，

∴ME≥MG，

∴当ME=MG时，ME的值最小，

∴ME=MG=2，

∴DK=BE=2，

∵CK=BC=4，

∴CD=2，

∴BD=6.

∴当BD的长为6时，ME的长的最小，最小值为 2 ．