Question

【题目】教材呈现：如图是华师版八年级上册数学教材第96页的部分内容．

请根据教材中的分析，结合图①，写出“角平分线的性质定理”完整的证明过程．

定理应用：

如图②，在四边形ABCD中，∠B＝∠C，点E在边BC上，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC．

（1）求证：BE＝CE．

（2）若四边形ABCD的周长为24，BE＝2，面积为30，则△ABE的边AB的高的长为_______．

Answer 1

【答案】教材呈现：见解析；定理应用：（1）见解析；（2）3

【解析】

教材呈现：

利用AAS可证明△POD≌△POE（AAS），即可得出PD＝PE；

定理应用：

（1）过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，由角平分线的性质定理可得EF＝EG＝EH，利用AAS可证明△BEF≌△CEH，得出BE＝EC；

（2）利用HL可证明Rt△AEF≌Rt△AEG，得出AF＝AG，同理DG＝DH，由（1）得出△BEF≌△CEH，得出BF＝CH，设BF＝CH＝x，AF＝AG＝y，DG＝DH＝z，由四边形ABCD的周长得出x+y+z＝10，由四边形ABCD的面积得出（x+y+z）EF＝30，求出EF＝3即可．

教材呈现：角平分线的性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等.

已知：OC是∠AOB的平分线，点P是OC上的任意一点，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是点D和E.

求证：PD＝PE.

证明：∵OC是∠AOB的平分线，

∴∠POD＝∠POE，

∵PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠PDO＝∠PEO＝90°，

在△POD和△POE中，，

∴△POD≌△POE（AAS），

∴PD＝PE.

定理应用：

（1）过E作EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，

∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，

∴EF＝EG＝EH，

在△BEF与△CEH中，，

∴△BEF≌△CEH（AAS），

∴BE＝CE.

（2）解：∵EF⊥AB于F，EG⊥AD于G，EH⊥CD于H，

∵AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，

∴EF＝EG＝EH，

在Rt△AEF和Rt△AEG中，，

∴Rt△AEF≌Rt△AEG（HL），

∴AF＝AG，

同理：DG＝DH，

由（1）得：△BEF≌△CEH，

∴BF＝CH，

设BF＝CH＝x，AF＝AG＝y，DG＝DH＝z，

∵四边形ABCD的周长为24，CE＝BE＝2，

∴x+y+y+z+z+x+2+2＝24，

∴x+y+z＝10，

∵四边形ABCD的面积为30，

∴（x+y）EF+（y+z）EG+（z+x）ED＝30，

整理得：（x+y+z）EF＝30，即10×EF＝30，

∴EF＝3，

即△ABE的边AB的高的长为3.

故答案为：3