Question

【题目】如图，圆C过原点并与坐标轴分别交于A、D两点，已知点B为圆C圆周上一动点，且∠ABO=30°，点D的坐标为（0，2）．

（1）直接写出圆心 C 的坐标；

（2）当△BOD为等边三角形时，求点B的坐标；

（3）若以点B为圆心、r为半径作圆B，当圆B与两个坐标轴同时相切时，求点B的坐标．

Answer 1

【答案】（1）（﹣1， ）；（2）B（﹣3， ）；（3）B（﹣﹣1， +1）或B（﹣1， ﹣1）．

【解析】试题分析：（1）连接OC并延长，交⊙C于点E，连接EA、ED，在直角三角形中，由30°角的性质和直角三角形的正切值可求出ED的长；再过点C作CF⊥OD，垂足为F，则CF是△DEO的中位线，根据三角形的中位线的性质可求C点的坐标；

（2）作BH⊥x轴交x轴于点H，根据勾股定理可求B点的坐标；

（3）分为B点在第一象限或第二象限，设出B的坐标，利用勾股定理可求解.

试题解析：（1）如图1，连接OC并延长，交⊙C于点E，连接EA、ED．

因为∠ABO=30°，

∴∠AEO=30°，又因为OE是直径，

∠AOE=60°，∠EOD=30°，∠EDO=90°

∵OD=2，

∴ED=DOtan30°=2．

过点C作CF⊥OD，垂足为F，则CF是△DEO的中位线，

所以OF=，CF=1．

∴点C的坐标为（﹣1，）

故圆心C的坐标为（﹣1，）；

（2）如图2，作BH⊥x轴交x轴于点H，

当△BOD是等边三角形，

则OB=OD=2，∠BOD=60°，

故∠BOA=30°，

则BH=OB=×2=，

OH===3，

∴B（﹣3，）；

（3）若B在第二象限，设B（﹣a，a），（a＞0），

则BC=，

∴AD===4，

∴AC=2，

∵BC=AC，

∴=2，

∴（﹣a+1）2+（a﹣）2=4，

解得：a1=0（舍去），a2=1+，

故B（﹣﹣1， +1），

若B在第一象限，设B（a，a），（a＞0），

∴BC=，

同理： =2，

解得：a3=0（舍去），a4=﹣1，

∴B（﹣1，﹣1），

综上所述：B（﹣﹣1， +1）或B（﹣1，﹣1）．