Question

【题目】如图，已知：E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，C、D是垂足，连接CD，且交OE于点F．

（1）求证：OE是CD的垂直平分线．
（2）若∠AOB=60°，请你探究OE，EF之间有什么数量关系？并证明你的结论．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA，

∴DE=CE，OE=OE，

∴Rt△ODE≌Rt△OCE，

∴OD=OC，

∴△DOC是等腰三角形，

∵OE是∠AOB的平分线，

∴OE是CD的垂直平分线

（2）解：∵OE是∠AOB的平分线，∠AOB=60°，

∴∠AOE=∠BOE=30°，

∵EC⊥OB，ED⊥OA，

∴OE=2DE，∠ODF=∠OED=60°，

∴∠EDF=30°，

∴DE=2EF，

∴OE=4EF

【解析】（1）先根据E是∠AOB的平分线上一点，EC⊥OB，ED⊥OA得出△ODE≌△OCE，可得出OD=OC，DE=CE，OE=OE，可得出△DOC是等腰三角形，由等腰三角形的性质即可得出OE是CD的垂直平分线；（2）先根据E是∠AOB的平分线，∠AOB=60°可得出∠AOE=∠BOE=30°，由直角三角形的性质可得出OE=2DE，同理可得出DE=2EF即可得出结论．
【考点精析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的相关知识点，需要掌握垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线；线段垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等才能正确解答此题．