Question

【题目】如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB的中点，四边形BCED为平行四边形，DE，AC相交于F.连接DC，AE.

（1）试确定四边形ADCE的形状，并说明理由．

（2）若AB＝16，AC＝12，求四边形ADCE的面积．

（3）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE为正方形？请给予证明．

Answer 1

【答案】（1）四边形ADCE是菱形，理由见解析；（2）24；（3）当AC＝BC时，四边形ADCE为正方形，证明见解析.

【解析】

（1）由题意容易证明CE平行且等于AD，又知AC⊥DE，所以得到四边形ADCE为菱形；
（2）根据解三角形的知识求出DE的长，然后根据菱形的面积公式求出四边形ADCE的面积；
（3）应添加条件AC=BC，证明CD⊥AB且相等即可．

(1)四边形ADCE是菱形．

理由：∵四边形BCED为平行四边形，

∴CE∥BD，CE＝BD，BC∥DE.

∵D为AB的中点，∴AD＝BD.

∴CE∥AD，CE＝AD.

∴四边形ADCE为平行四边形．

又∵BC∥DF，

∴∠AFD＝∠ACB＝90°，即AC⊥DE.

∴四边形ADCE为菱形．

(2)在Rt△ABC中，∵AB＝16，AC＝12，∴BC＝4.

而BC＝DE，∴DE＝4.

∴四边形ADCE的面积＝AC·DE＝24.

(3)当AC＝BC时，四边形ADCE为正方形．

证明：∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB，即∠ADC＝90°.

∴菱形ADCE为正方形．