Question

【题目】已知关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0．
（1）若方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围；
（2）若方程的两根恰好是一个矩形的两边长，且k=4，求该矩形的周长．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵关于x的方程x2﹣（2k+1）x+k2+1=0有两个不相等的实数根，

∴△＞0，

∴[﹣（2k+1）]2﹣4（k2+1）＞0，

解得k＞ ．

则k的取值范围是k＞ ；

（2）解：当k=4时，原方程可化为x2﹣9x+17=0，

设方程的两根是x1、x2，则矩形两邻边的长是x1、x2，

∵x1+x2=9，

∴该矩形的周长为2（x1+x2）=18．

【解析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系，方程有两个不相等的实数根，则△＞0，建立不等式，求出解集即可。
（2）将k的值代入方程，由于方程的两根恰好是一个矩形的两边长，要求该矩形的周长，只需求出此方程的两根之和，即可求得矩形的周长。
【考点精析】关于本题考查的求根公式和根与系数的关系，需要了解根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商才能得出正确答案．